Partie 3 : Propriétés linéaires des composites à ...

Partie 3 : Propriétés linéaires des composites à ...

Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Partie 4 A: Problmes d inclusions Oprateurs de Green 1 - Inclusion en milieu infini 1.1 problme homogne, 1.2 problme inhomogne et tenseur d'influence de Hill, 1.3 problme inhomogne avec chargement l'infini, 1.4 estimation aux faibles concentrations. 2 - Oprateur de Green 2.1 solution lmentaire en milieu infini, 2.2 oprateur de Green modifi, _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ 3 - Bilan S. DRAPIER 1 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Motivations Solution pour une inclusion dans un milieu Inclusion - Eshelby Oprateur de Green Tenseur de localisation Homognisation des milieux distribution alatoires estimations dordre 1et 2

Ide : connatre la solution pour une inclusion dans un milieu de nature diffrente connatre la solution dune inclusion, possdant des dformations initiales, constitue du mme matriau que le milieu _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 2 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ 1. Inclusion dans un milieu 1.1 Problme de linclusion homogne - Eshelby Utilisation des dformations libres - scnario d Eshelby Rappel : dformation libre = dformation dun milieu sans gnrer de contraintes, si le milieu est libre de changer de morphologie dilatation volumique rsultant dune lvation de temprature dformations rsiduelles, plasticit, ... Inclusion : x 1 2 3 dformation libre dans linclusion t(x I) I V (domaine)

t(x I) = t(x) I(x), x V t dformation totale dans linclusion (mesurab ijI (x) = ij (x) + ijt (x) I Totale Compatible Libre _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 3 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Solution propose par Eshelby (1957) I 0 I t I S E : t I 0 I 0 I LI : ( I t )

V I t 0 0 I I 0 I tat naturel initial relax SE : tenseur d'Eshelby t : dformation libre homogne V 0 V 0 0 0 I Incompatibilit de dformation I

quilibre final V : milieu infini I : inclusion L : tenseur des modules du milieu infini _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 4 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Problme formul par Eshelby (1957) _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 5 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Problme homogne inclusion I a les mmes proprits que le milieu V qui lentour I 1 Les dformations doivent tre compatibles u(x) \ ij = (ui,j + uj,i) 2

do lexpression des contraintes (en utilisant la symtrie de L) : t ij(x) = Lijkl (uk,l(x) - kl (x) I), x V t et lquilibre statique :Lijkl uk,lj(x) - Lijkl kl,j (x) I = 0, x V t Lijkl uk,lj(x) + fi =0, x V en posant fi = - Lijkl kl,j (x) I Efforts quil faut imposer sur la frontire de linclusion pour la ramener une forme compatible _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 6 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires

_______________________________________________________________________________________________________________________________ I E S : I I S E : t t I t L : ( ) 0 0 V I L : ( I t ) V t Fi = Lijklkl nj n I I Lijkl uk,lj(x) =0, x V A rsoudre

ij nj = Fi = Lijklklt nj I x I _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 7 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Rsolution : fonction de Green en lasticit linaire u(x) x x' 1 2 3 V Fonction de Green : gij(x-x') permet d exprimer le dplacement u(x) dans la direction xi rsultant de lapplication d'une force f(x) unitaire f en x' dans la direction xj ui(x) = gij(x-x') fj(x') gij(x-x') fj(x') dx' = gij(x-x') Fj(x') dx' Eshelby ui(x) = I I

On montre pour Eshelby : pour un milieu non contraint t ij (x) = - 1 Lklpq g (x-x') dv' + g (x-x') dv' jk,li ik,lj pq 2 I I ij (x) = SEijpq tpq Cadre mathmatique au 2.1 _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 8 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Proprits du tenseur dEshelby : tenseur du 4ieme ordre E

E E partiellement symtriqueSijkl = Sjikl = Sijlk E E mais Sijlk Sklij expressions analytiques dans les cas simples : ellipsode isotrope, dformation uniforme dans linclusion Dpend uniquement du coefficient de Poisson et des facteurs gomtriques de linclusion _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 9 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Tenseur dEshelby d l 1 2

3 _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 10 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ 1 2 3 _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 11 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Gnralisation Pour gnraliser la dmarche prcdente, on peut passer par la polarisation quation de comportement dans l'inclusion : I= L:I+ : tenseur de polarisation (symtrique) tel que -L:L:t Contrainte qui apparatrait dans linclusion si aprs la transformation (thermique, ) on bloquait la

dformation Autres tenseurs (Hill, 1965) Dformation dans l'inclusion : I = -P:(P = SE :L-L:1 = SE:M) Contrainte dans l'inclusion : I = -Q:t Proprits de P (plus intressantes que SE) (Q = L -L: L:P:L) symtrique, dfini positif _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 12 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ 1.2 Problme inhomogne et tenseur d'influence de Hill (L*) Extension de la solution dEshelby homogne (ellipsodale) LI=L+LI V I LI L Symtrique non nul, mais pas forcment dfini

positif : polarisation = contrainte correspondant t si inclusion seule, i.e. sans matriau V\I = L: dans V\I = L:I + dans I, = L:I + LI:I + C.A. dans V S.A. dans V = -L:LI : t _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 13 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Hypothse : champ de polarisation homogne dans linclusion dformation constante dans linclusion Eshelby I = -P : L*=P-L:1-L:L = (SE:M)-L:1 -L I = - [L* + LI ]-L:1 : Tenseur dinfluence de Hill

L* exprime la raction du milieu infini sur l'inclusion en rponse la dformation que celle-ci lui impose, (illustration ci-aprs) tenseur symtrique, dfini positif, de la dimension des modules dlasticit dpend uniquement des modules du milieu et de la gomtrie de _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 14 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Interprtation du tenseur d influence de Hill : On vrifie V n u=.x I T=(L:).n u=.x T=(-L :).n * = -L*: n I

L Effort imposer pour induire un dplacement u lment de matire L Cavit dans un milieu Si linclusion est beaucoup plus rigide que le milieu , on montre que t I- [M*]-1 : t = - L*: Linclusion impose sa dformation libre au milieu (la part d origine lastique de la contrainte est ngligeable) _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 15 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ 1.3 Problme inhomogne avec chargement l'infini = L: dans V\I = L:I + dans I, avec LI = L+LI o= L:o chargement l'infini C.A. dans V S.A. dans V lasticit linaire : superposition des champs macro aux solutions ** oo

II II-L:-L: oo=-L:L :[ -L: =-L:L :[ -L: ]] (une seule inclusion inhomogne noye dans le milieu infini) Dformation et contraintes homognes dans linclusion : I = -L:P:+ o I = -L: LI:P:+ LI o + o _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 16 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Remarque : inhomognit et Eshelby avec chargement l solution prcdente sapplique au cas o la dformation est COMPATI (la dformation libre est nulle) -L: = -L:L*:[ -L: o] dans V\I = LI:I dans I o= L:o chargement l'infini I o I C.A. dans V

S.A. dans V I = [L*+ LI]-1:[L*+L]:o Remarques : ij(x) Axijkl (x) Ekl Localisation Solution indpendante des proprits mcaniques de linclusion : L*=L:[(SE)-1-L:I] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 17 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ 1.4 Plusieurs inclusions Eshelby avec 2 inclusions disjointes (centres en xi) subissant une transformation homogne caractrise respectivement par 1 et2 V (12) I1 I2 C.A. dans V (drive d'un champ de dp.) 0 loin de (I1 I2) = L: dans V\(I1 I2) = LI1: + 1 dans I1

= LI2: + 2 dans I2 S.A. dans V quations linaires Superposition : (1 = 2 = 0) + (1 = 02 = ) (12) _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 18 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Solution x V, (x) = - g1(x-x1):1 - g2(x-x1):2 polarisation dans I1 polarisation dans I2 Effets des polarisations Dans I1 par exemple : dformation = df. homogne induite par 1 + effet distance de 2 (df. Inhomogn Gnralisation Gnralisation possible avec plusieurs inclusions homognes Pas de gnralisation possible avec plusieurs inhomognits car = Li : + i = L : Li - L + i

i nest pas constant dans Ii: varie _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 19 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Problme inhomogne une inclusion : x V, (x) = - g(x-x0):0 Dformation homogne dans Io Plusieurs inclusions et chargement l'infini : x V, (x) = 0 - n gi(x-xi):i i=1 Dformation non homogne dans Ii i : polarisation due l'inclusion Ii xi : centre de l'inclusion Ii gi : tenseur symtrique dpendant de L et de la forme de Ii _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 20

Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ 1.5 Estimation aux faibles concentrations Inclusions distantes les unes des autres : (milieu infini=matrice) seule la polarisation de l'inclusion sur elle mme est considre df. macroscopique milieu = VER, L = Lm , LI = Li Dformation homogne dans une inclusion :i =[L* m + Li]-1:[L*m+L]: Cas d'un composite particules (fraction volumique c i) : contrainte macroscopique : = Lm : E+ <[L - Lm]:>VER Tenseur des modules effectifs (estimation au 1 er ordre) : LFC = Lm + ci [Li- Lm]:[L*m + Li]-1:[L*m+Lm] Lm : tenseur des modules de la matrice Li : tenseur des modules des inclusions _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ L*__m : tenseur dinfluence construit partir des modules de la matrice et des formes de S. DRAPIER 21 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ 2. Oprateur de Green 2.1 Solution lmentaire (g) de l lasticit en milieu infini Soient xV eto(x) S.A. , avec fo un effort constant appliqu sur le

volume v centr en xo. On a uo(x), o(x) C.A., et uo0, o0 loin de xo. Linarit et invariance des champs par translation donc : g tel que uo(x) = g(x-xo).fov o(x) = h(x-xo).fov o(x) = L:h(x-xo).fov g : oprateur de Green = distribution de tenseurs d'ordre 2 h : champ de tenseur d'ordre 3 1 dg jk dg ik x x h ijk x 2 dx i dx j _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 22 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ 2.2 Oprateur de Green modifi, solution d'un problme d'lasticit Soient (x) S.A. avec f et (x) C.A. tels que : (x) = L:(x) + (x) PTV avec (u, ) et o : x : x dx u x .f v o o o

V PTV avec (uo, o) et : - x : x dx u x .f x dx o V o V u x o h ' x o x : x dx g x o x .f x dx v v x o ( x o x ) : ( x )dx h ( x o x ).f x dx V drivations h'ijk(x)=hjki(-x) V dh ' jkl 1 dh 'ikl x x oprateur de Green modifi en dformation ijkl x 2 dx j dx i

Donne le champ de dplacement d une polarisation lmentaire v en xo _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 23 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ 2.3 Problme d'inclusions Soit une inclusion I de forme ellipsodale dans un domaine V, I centre l'origine, la polarisation homogne dans I alors : x V, x x y dy : I Proprits de pour tout x0 : ijkl = -1 -L: symtrique 4 -L: homogne de degr -L:3 -L: faible variation loin de l'origine, singularit en 0 Eshelby - rappel : polarisation ( gil,jk + gik,jl + gjl,ik + gjk,il) -L:L:t (x) = - L 1 [ gik,lj(x-x') + gjk,li(x-x')] dv' : (-L-1 : ) = 1 [ gik,lj(x-x') + gjk,li(x-x')] dv' : 2 2

I I En symtrisant / (i,j), (k,l), on retrouve ijkl _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 24 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ 3. Bilan polarisation 1/ Eshelby inclusion I S E : t I L : ( I t ) V I= L:I+ I = -P: solution I 2/ Problme inhomogne (LI,L) et tenseur de Hill Tenseur dinfluence de Hill L*=P-L:1-L:L

= (SE:M) -L:1 -L = L:I + = -L*: 3/ Inhomognit et Eshelby avec chargement l o o, V -L: =-L:L*:[ -L: o] I o I Dformation libre nulle LOCALISATION I I = [L*+ LI]-1:[L*+L]:o _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 25 Mthodes de Changement dchelle : Inclusions - Homognisation des Milieux Alatoires _______________________________________________________________________________________________________________________________ Lessentiel **

oo II II-L:-L: oo=-L:L :[ -L: =-L:L :[ -L: ]] ** II -1 -1:[L**+L]:oo II =[L + L ] =[L + L ] :[L +L]: ij(x) Axijkl (x) Ekl Moyenne sur les VER Estimations courantes Hashin - Strikman : polarisation homogne/phase Mori - Tanaka : milieu = matrice Autocohrent : milieu = composite (dfinition implicite) _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __ S. DRAPIER 26

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